导数
一元函数在某点的变化率（斜率)

偏导数
偏导数是多元函数"退化"成一元函数时的导数, 这里"退化"的意思是固定其他变量的值, 只保留 一个变量, 依次保留每个变量, 则N元函数有N个偏导数。
也可以理解成在某点沿着平行于某个轴方向的切面上的导数

z = f(x,y)
x偏导 = ∂z/∂x
y偏导 = ∂z/∂y

梯度
梯度是一个向量，值为：(∂f/∂x, ∂f/∂y)。
由全部变量的偏导数汇总而成的向量称为梯度（gradient）

梯度的几何意义：
当前位置的梯度方向，为函数在该位置处方向导数最大的方向，也是函数值上升最快的方向，反方向为下降最快的方向；

方向导数
如果是方向不是沿着坐标轴方向，而是任意方向呢？方向导数表示函数在给定方向上的变化率
方向导数=cos(θ) × 梯度（θ是方向导数的方向与梯度方向的夹角）
因此，所有的下降方向中，梯度方向下降最多

假设我们有一个函数 z = f(x, y)，并且我们想要计算在点 (x₀, y₀) 沿着一个给定方向的方向导数。假设该方向由单位向量 v = (a, b) 给出。那么方向导数 ∂_v(f) 可以表示为：

∂_v(f) = ∇f · v

其中，
- ∂_v(f) 是函数 f 在点 (x₀, y₀) 沿着方向 v 的方向导数。
- ∇f 是函数 f 的梯度，表示为 (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
- v = (a, b) 是单位向量，表示方向。