忧郁的大能猫
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Table of Contents:
集合
关系
函数
代数系统
抽象代数
抽象代数主要研究对象是代数结构，包括群、环、域、向量空间。
代数主要研究的是运算规则。一门代数， 其实都是从某种具体的运算体系中抽象出一些基本规则，建立一个公理体系，然后在这基础上进行研究。一个集合再加上一套运算规则，就构成一个代数结构1。
抽象代数将初等代数的一些概念延伸。
1. 数 –> 集合
2. + –> 二元运算
加减乘除都叫二元运算(二元指的是两个操作数)
3. 0/1 –> 单位元
0和1被抽象成单位元(identity elements)，0为加法单位元，1为乘法单位元。单位元是集合的一个特殊元素(跟二元运算有关)，满足单位元与其他元素相结合时，不改变该元素，即满足a ∗ e = a 与 e ∗ a = a。
4. 负数 –> 逆元素
负数推广到逆元素(inverse element)，对于加法，a的逆元素是-a；对于乘法，a的逆元素是倒数1/a。直观地说，逆元可以撤销操作，如加了一个数a，再加上该数的逆元-a(相当于撤消操作)，结果还是一样。
5. 结合律
结合律(Associative property)是某些二元运算的性质，有些二元运算没有结合律(如减法、除法、八元数)。
6. 交换律
交换律(Commutative property)，改变二元运算符两边的元素不影响结果。并不是所有二次元运算都满足交换律(如矩阵的乘法)
群论
群 = 集合+运算
我们可以认为一个群代表了“某一类”变换。比如下面这个群：
A={-270，-180，-90，0，90，180，270}, Q=（A,）。群里的元素旋转角度，ab代表先旋转a度，再旋转b度。
群的定义：封结幺逆
- 封闭性：两个群元相乘后仍然是群元
我们可以认为一个群代表了“某一类”变换，这些变换的叠加(群乘法 )也属于“同一类”。 - 结合律
结合律可以理解为连续操作的唯一性。
如果以 {剪刀, 石头, 布} 构成一个集合，并且按照胜负规则定义所谓的乘法：
剪刀·石头=石头·剪刀=石头；
石头·布=布·石头=布；
布·剪刀=剪刀·布=剪刀
那么我们可以验证这个“乘法”不满足结合律，比如：
石头·(布·剪刀)=石头·剪刀=石头，而：
(石头·布)·剪刀=布·剪刀=剪刀
这样的乘法本身就是“畸形”的，因为它无法定义唯一的“连续操作”。 - 幺元存在性
幺元很好理解，就是“什么都不做”的变换。即乘以幺元后元素不变。 - 逆元存在性
逆元也很好理解，就是“做了又反悔”的变换。即乘以后得到了幺元。
逆元存在性意味着允许群元“悔棋”，否则构不成群，只能构成半群，因为每个群元都找不到自己的另一半。
代数结构(R, *)，二元运算根据封闭性、单位元、逆元、结合律、交换律，可以归纳成不同的群。从最不严格到严格(依次添加限制条件)，其关系图如下：
- 原群(magma)
是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。 - 半群(Semigroup)
满足结合律(associative property)的代数结构。V=<S，* >，其中二元运算*是可结合的，即(a*b)*c=a*(b*c)，则称V是半群。 - 幺半群(monoid)
在半群的基础上，还需要满足有一个单位元 - 群(group)
在幺半群基础上再加上逆元，如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a。 - 阿贝尔群(交换群)(Abelian Group)
在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群。
环论
环在交换群基础上，进一步限制条件。环、交换环、域间的关系如下：
环(ring)
在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)。需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下
1. (R, +)是交换群
2. (R, ·)是幺半群
3. 乘法对加法满足分配律
交换环(commutative ring)
交换环(commutative ring)在环的基础上，二元运算乘法还满足交换律。
整环(integral domain)
在交换环的基础上，并满足没有零因子(如此，集合内任意两个元素乘积均不等于0)
域
域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。
向量空间
向量空间(vector space)是一些向量的集合。其他例子，还包括坐标空间(Coordinate spaces)、复数、函数空间(Function spaces)、线性方程组(linear equations)。
模
模(module)是对向量空间的推广，将标量需为域(向量空间)推广到任意环(模)。
格
格(lattice)是任意两个元素都有上确界和下确界的偏序集合。